解决鬼影问题: 如何从复用单光子探测器中重建图像

想象一下在几乎全黑的环境中拍照，光线极其稀缺，以至于你需要计算撞击传感器的单个粒子——光子。这就是单光子探测器的领域。这些设备正在彻底改变从生物成像、激光雷达到量子光学等各个领域。

在这些设备中，超导纳米线单光子探测器 (SNSPD) 是黄金标准。它们提供令人难以置信的效率和精度。然而，它们面临一个主要的扩展问题: 它们需要被冷却到低温环境。如果你想要一个百万像素的相机，你不可能在不引入过多热量的情况下，从深冷恒温器中引出一百万根导线。

为了解决这个问题，工程师们使用了一种叫做读出复用 (readout multiplexing) 的巧妙布线方案，这减少了所需的线缆数量。但这种硬件修正引入了一个新的软件问题: 模糊性 (ambiguity) 。当多个光子同时击中传感器时，布线会产生“鬼影”信号，使得无法确切知道光子落在了哪里。

在波士顿大学的一篇题为 Image Reconstruction from Readout-Multiplexed Single-Photon Detector Arrays 的精彩论文中，研究人员提出了一种复杂的计算方法来解决这一难题。通过将图像形成视为一个概率逆问题，他们开发了一种“多光子估计器” (Multiphoton Estimator) ，可以解开这些幽灵般的信号，生成比传统方法更清晰、更快速的图像。

在这篇文章中，我们将剖析读出复用的问题，解释新估计器背后的数学原理，并探讨这种方法如何推动低光成像的边界。

硬件瓶颈: 为什么要复用？

要理解解决方案，我们首先需要理解硬件限制。在标准的数码相机中，每个像素都可以单独读取。在超导阵列中，对于大型阵列来说，为每个像素运行一根专用导线在热学上是不可能的。

一个常见的解决方案是行列复用 (Row-Column Multiplexing) 。与其读取每个像素 (\(n^2\) 根线) ，不如只读取行和列 (\(2n\) 根线) 。

  • 如果一个光子击中像素 \((2, 3)\)，读出信号会显示“第 2 行触发”和“第 3 列触发”。
  • 通过交叉这些线，我们知道光子击中了 \((2, 3)\)。

只要光子一个接一个地到达，这就完美运作。

模糊性问题

当光线变强时麻烦就开始了。如果两个光子同时到达不同的位置，读出结果就会变得模糊。

考虑一个简单的 \(2 \times 2\) 像素阵列。

Figure 2. Row-column readout frames for a 2x2 array. Yellow spots indicate incident photon locations. The red box highlights the ambiguous cases.

如上图 Figure 2 所示，请看红框中的事件 (事件 \(E_9\) 到 \(E_{15}\)) 。 如果读出显示 第 1 和 2 行触发 并且 第 1 和 2 列触发 , 我们就有问题了。这种读出可能是由以下原因引起的:

  1. 光子在 \((1,1)\) 和 \((2,2)\)。
  2. 光子在 \((1,2)\) 和 \((2,1)\)。
  3. 光子在三个角落。
  4. 光子在所有四个角落。

硬件对所有这些不同的物理事件给出了相同的信号。这就是适定性不佳的逆问题 (ill-posed inverse problem) 。

传统解决方案及其缺陷

历史上，研究人员主要使用两种策略来处理这个问题，这两种策略都不是最理想的:

  1. 朴素估计器 (Naive Estimator) : 这种方法假设触发的行和列的每一个交叉点都有光子。如果行 1/2 和列 1/2 触发，它就假设 4 个光子击中了。这会产生 “鬼影图像” ——即从未存在过的幽灵光子——导致高偏差 (bias) 。
  2. 单光子估计器 (Single-Photon Estimator, SPE) : 这种方法是保守的。它简单地丢弃任何触发了多行或多列的帧。它只信任无歧义的数据。虽然这消除了鬼影 (偏差) ，但它丢弃了大量数据，导致高噪声 (方差) , 尤其是在光源较亮时。

Figure 1. Schematic of image reconstruction. Left: The measurement process. Right: The blurry Naive reconstruction vs. the noisy Single-Photon reconstruction vs. the Proposed method.

Figure 1 展示了这种权衡。“Naive” (朴素) 图像很平滑但有伪影 (鬼影) 。“Single” (单光子) 图像很准确但颗粒感极强，因为大部分光线被丢弃了。“Proposed” (提议) 的方法旨在兼得二者之长。

核心方法: 多光子估计器

研究人员的贡献在于多光子估计器 (Multiphoton Estimator, ME) 。 ME 不是丢弃模糊帧或盲目猜测，而是使用概率框架来解析光子入射的空间位置。

1. 建模通量

首先，对系统进行数学建模。到达像素 \((i,j)\) 的光子数量服从基于光强 (通量) \(\Lambda_{ij}\) 的泊松分布:

Poisson distribution equation.

然而，单光子探测器实际上在一个光子时就饱和了 (它们是二进制的) 。所以，我们要看像素检测到至少一个光子的概率 \(q_{ij}\):

Probability of photon detection equation.

我们的目标是估计每个像素的这个 \(q_{ij}\) 以重建图像 \(\Lambda\)。

2. 读出逻辑

行 (\(R\)) 和列 (\(C\)) 的读出是二进制向量。如果某行中的任何像素检测到光子，则该行 \(R_i\) 返回 1。

Row and Column readout equations.

3. 求解逆问题

研究人员制定了观察特定读出集合的似然函数。对于无歧义的帧，这很简单。对于有歧义的帧，似然函数涉及导致该读出的所有可能事件的概率总和。

朴素估计器通过平均行和列的交集来计算概率:

Naive estimator equation.

这个数学公式证实了为什么朴素方法会失败: 它盲目地关联了行和列。

提议的多光子估计器采用了一种更聪明的方法。它使用近似最大似然方法。它分两个阶段工作:

  1. 初始猜测: 它首先计算单光子估计器 (SPE) 。由于 SPE 是无偏的 (它从不撒谎，只是说话不多) ，它提供了图像结构实际所在的粗略、嘈杂的地图。
  2. 重新分配: 它使用该初始地图为模糊帧分配概率。

如果一个模糊帧说“角落触发了”，而初始地图说“左上角和右下角很亮，但其他地方很暗”，算法就会将模糊的光子归因于亮像素。

观测的似然函数被分为两部分: \(U(q)\) 用于无歧义帧，\(A(q)\) 用于有歧义帧。

Likelihood equation separating unambiguous (U) and ambiguous (A) components.

项 \(A(q)\) 很复杂，因为它将许多可能的事件 (如 Figure 2 中的 \(E_9\) 到 \(E_{15}\)) 混合在一起。

Expression for A(q) involving M9 (ambiguous frames).

为了解决这个问题，研究人员计算了每个事件的条件概率 (\(g\)) 。例如，\(g_9\) 是在我们要观察到一个模糊读出的情况下，事件 \(E_9\) 发生的概率。他们使用“安全的”单光子数据 (\(\hat{q}^s\)) 来估计这些 \(g\) 值。

Conditional probability estimation using single-photon data.

最后，他们结合这些加权概率来更新每个像素的计数。估计概率 (\(\hat{q}^a\)) 的公式涉及获取无歧义计数 (\(M_1, M_5...\)) 并加上模糊计数 (\(M_9\)) 的加权部分。

The final multiphoton estimator equations for a 2x2 array.

简单来说: 算法不会扔掉模糊数据。它查看“干净”的数据以了解场景的形状，然后统计性地将“混乱”的数据分配到该形状中，以提高信噪比。

虽然上面的数学公式是针对 \(2 \times 2\) 的情况，但论文将此逻辑扩展到处理多达 4 个光子 同时发生的情况。

实验与结果

研究人员通过对 \(32 \times 32\) 图像 (与当前原型 SNSPD 阵列的大小相匹配) 进行蒙特卡洛模拟验证了他们的方法。

1. 视觉重建质量

视觉上的改进是惊人的。

Figure 3. Comparison of reconstructions. Row (a) shows a flower. The Naive method has streaks (ghosting). The Single-photon method is noisy. The Multiphoton estimator recovers the petals clearly.

在 Figure 3 中，比较各列:

  • Naive (朴素) : 注意花朵 (行 a) 和月亮 (行 b) 中的水平和垂直条纹。这些是错误归因的光子。
  • Single-Photon (单光子) : 条纹消失了，但图像颗粒感很强，微弱的特征丢失了。
  • Multiphoton (Proposed) (多光子/提议) : 花瓣和月亮的形状清晰流畅。峰值信噪比 (PSNR) 比朴素方法提高了 6 到 11 dB , 比单光子方法提高了 4 到 6 dB 。

2. 处理更亮的光线 (最佳通量)

多光子估计器的最大优势之一是它允许探测器在更高的光强 (通量) 下工作。

在单光子成像中，通常必须保持光线非常暗，以避免“堆积”或模糊。但暗光意味着成像慢。

Figure 4. Mean-squared error (MSE) vs. Photons Per Frame. The Multiphoton (yellow/orange) curves dip lower and stay lower at higher flux than the Single-photon (purple) or Naive (red) curves.

Figure 4 显示了均方误差 (MSE) 随亮度 (每帧平均光子数) 增加的变化。

  • Naive 估计器 (红色) 由于偏差总是具有高误差。
  • Single-photon 估计器 (紫色) 在低光下效果良好，但随着光线增强迅速失效 (因为它开始丢弃几乎所有的帧) 。
  • Multiphoton 估计器 (橙色/黄色) 实现了最低的误差，并且在几乎是传统方法两倍的通量下有效工作 (最佳点约为每帧 1.4 个光子，而传统方法为 0.8) 。

3. 偏差与方差分析

为了理解为什么误差更低，我们可以看偏差和方差分解。

Figure 9. Bias and Variance analysis. Naive has high bias. Single-photon has high variance. Multiphoton has low bias and low variance.

Figure 9 证实了这一理论:

  • 图 (a) 偏差: 朴素方法 (蓝色) 有正偏差 (鬼影) 。多光子方法 (黄色) 保持偏差接近零。
  • 图 (b) 方差: 单光子方法 (橙色) 在较高通量下具有巨大的方差。多光子方法通过利用其他方法丢弃的数据来保持低方差。

4. 速度 (积分时间)

因为多光子估计器使用了更多的入射光，它能更快地收敛到一幅好图像。

Figure 6. Number of frames required to reach a target MSE. The Multiphoton estimator (yellow) is roughly 4x faster than the Single-photon estimator (orange).

Figure 6 显示，要达到特定的图像质量 (MSE = 0.01) ，单光子方法需要 100,000 帧。多光子方法只需要大约 25,000 帧。这种 4倍加速 对于激光雷达或视频等对延迟敏感的应用至关重要。

5. 理论极限 (克拉美-罗下界)

最后，研究人员将他们的方法与克拉美-罗下界 (CRB) 进行了比较，CRB 代表了任何无偏估计器的理论精度极限。

Figure 7. Comparison with Cramér-Rao Bound. The 4-photon estimator (yellow) hugs the theoretical limit (black dashed line).

如 Figure 7 所示，4-光子估计器在广泛的光强范围内几乎完美地贴合了理论极限。这表明在特定的硬件设置下，性能已经没有多少提升空间了——该算法几乎是最优的。

扩展与未来启示

虽然演示集中在 \(32 \times 32\) 阵列上，但研究人员分析了该方法如何扩展。

Figure 8. Scaling analysis. As the array size (number of rows) increases, the advantage of the Multiphoton estimator over the Naive method grows significantly.

Figure 8 显示，随着阵列变大 (高达 512 行) ，多光子估计器相比朴素方法的优势变得更有价值。这对开发商业级规模的超导相机来说是非常有前景的。

结论

布线超导探测器的“硬件问题”引出了一个“软件机遇”。通过拒绝将模糊数据视为垃圾，研究人员证明了我们可以从复用阵列中恢复高质量的图像。

这项工作将劣势转变为优势。它允许:

  1. 更高的光子计数: 你不需要把光线调得那么暗。
  2. 更快的成像: 你可以用少 4 倍的帧数捕捉场景。
  3. 可扩展的硬件: 我们可以构建更大的阵列而不会融化恒温器。

对于光学成像领域的学生和工程师来说，这篇论文堪称典范，展示了概率建模如何克服物理限制，证明了有时改进相机的最佳方式是升级数学算法，而不仅仅是传感器。