引言

在计算机视觉和机器人领域，机器如何“看”物体与物体本身同样重要。想象一个试图拿起咖啡杯的机器人。对我们来说，它只是一个简单的杯子。对计算机来说，它可能是一团由数百万个点组成的密集云、一个沉重的三角网格，或者一个复杂的神经辐射场。

虽然这些细节丰富的表示非常适合渲染漂亮的图像，但对于物理模拟来说往往非常糟糕。计算一百万个多边形的网格与机械手之间的碰撞在计算上极其昂贵。这就是 形状抽象 (Shape Abstraction) 发挥作用的地方。它将复杂的物体简化为易于管理的基元 (primitives) ——就像用乐高积木搭建雕塑一样。

多年来，研究人员一直依赖简单的基元，如方块、球体或超二次曲面。但这些往往过于僵硬。不使用数百个方块，它们就无法捕捉复杂工具的微妙曲率或水果的有机形状。

在本文中，我们将深入探讨一篇 CVPR 论文，该论文提出了一种新的前进方向: 基于行进可微支撑函数的形状抽象 (Shape Abstraction via Marching Differentiable Support Functions, MDSF) 。 这种方法不仅简化了形状；它还是在一个完全可微的数学框架下进行的。这意味着抽象不仅仅是一个静态模型——它是一个数学上活跃的实体，可以计算接触力的梯度，使机器人能够“感觉”并优化它们与世界的交互。

DSF 抽象方法概览。左侧是普通几何体。右侧是抽象后的彩色模型。底部展示了在编辑、定位和模拟中的应用。

如上图 1 所示，该方法将原始几何体 (SDF) 转换为一组平滑的凸基元，称为可微支撑函数 (Differentiable Support Functions, DSFs) 。这些基元解锁了强大的下游任务，如形状编辑和可微模拟。

当前表示法的弊端

在我们解开解决方案之前，我们需要了解瓶颈所在。

  1. 网格 (Meshes) 是标准的但对于碰撞检测来说计算量大。
  2. 隐式场 (SDFs) 将形状表示为连续函数，但在物理引擎中难以查询接触点。
  3. 基元分解 (Primitive Decomposition) (将形状分解为方块或球体) 对物理模拟来说很快，但通常不准确。球体的方块近似是一个很糟糕的滚动表面。

圣杯是一种既 通用 (可以是盒子、球体或奇怪的卵石形状) , 参数高效 (不需要成千上万个数字来定义) ，又 可微 (我们可以计算导数进行优化) 的基元。

核心概念: 可微支撑函数 (DSF)

研究人员建议使用一种特定的几何表示，称为 支撑函数 (Support Function) 。

什么是支撑函数？

在凸几何中，支撑函数 \(h(x)\) 描述了从原点到集合在方向 \(x\) 上的支撑超平面的距离。可以把它想象成从特定角度将一张平纸靠在形状上；支撑函数告诉你那张纸离中心有多远。

作者利用了由一组顶点定义的可微公式。他们从以下基本数学定义开始:

方程 1: 涉及顶点和平滑参数 p 的支撑函数基本公式。

这里，\(v_i\) 是定义形状的顶点，\(p\) 是平滑参数。当 \(p\) 增加时，形状变得更锐利 (像多面体) 。当 \(p\) 减小时，它变平滑 (像一团球) 。

使其可微且鲁棒

标准支撑函数有一个限制: 原点必须在形状内部。为了解决这个问题并使表示在 3D 空间中的任何位置都具有鲁棒性，作者引入了一个 中心变量 \(c\)。

方程 2: 修改为包含中心变量 c 的支撑函数。

现在，形状是相对于这个中心 \(c\) 定义的。然而，仅仅添加一个变量是不够的。为了使几何体有效，中心 \(c\) 在数学上必须保持在顶点的凸包内部。

为了在不破坏可微性 (这对训练神经网络或运行优化至关重要) 的情况下强制执行此约束，他们使用了一种巧妙的参数化方法。他们将 \(c\) 定义为顶点的加权和，其中权重由无界参数 \(\alpha\) 控制:

方程 3: 使用源自 alpha 参数的权重对中心 c 进行参数化。

他们还对平滑度 \(p\) 进行参数化，以确保其保持在有用的范围内 (在 2 和最大值之间) ，从而防止数值不稳定性:

方程 4: 平滑参数 p 的参数化。

为什么参数化很重要

这看起来可能只是代数变换，但它具有深远的视觉影响。通过允许中心“浮动”并且顶点通过这些可微参数进行调整，DSF 可以紧紧包裹住既有锋利边缘又有曲面的复杂凸形状。

拟合结果对比。左: 目标形状。中: 使用提出的 alpha 参数化进行拟合。右: 无 alpha (固定中心) 的拟合。

在上图中，请看“中”列与“右”列的对比。当中心固定时 (右) ，形状抽象无法捕捉 D 形或四分之一圆的细微差别。通过提出的参数化 (中) ，顶点智能分布，同时捕捉到了平坦侧面和弯曲弧线。

拟合过程

我们实际上如何让 DSF 匹配目标物体？我们将其视为一个优化问题。我们要最小化我们的 DSF 与目标几何体 (表示为 SDF) 之间的差异。

方程 5: 将 DSF 拟合到目标几何体的损失函数。

通过最小化这个损失函数，算法会拉动 DSF 的顶点，直到它们紧贴目标物体的表面。

多边形网格上的 DSF 拟合视觉结果。彩色形状仅使用 20 个顶点就紧密匹配了灰色目标网格。

如图所示，即使只有 20 个顶点，单个 DSF 也能非常准确地表示各种形状——从球体到楔形再到棱柱。

算法: 基于行进的超平面

拟合一个凸形状很容易。但大多数现实世界的物体——比如机械臂或兔子——是 非凸的 。 你不能用单个凸块来表示甜甜圈；你需要将其分解。

作者提出了一种“行进 (Marching) ”方案。类似于从体积数据中提取网格的著名“移动立方体 (Marching Cubes) ”算法, 行进 DSF (Marching DSFs) 迭代地识别物体区域并将基元拟合到这些区域。

管道如下所示:

抽象管道。从感官输入 (图像/点) 到 SDF 生成，再到最终的 DSF 抽象。

系统接收输入 (如点云) ，将其转换为符号距离场 (SDF) ，然后运行抽象算法。作者提出了两种互补的策略来分割空间: 区域缩减 (Region Reduction) 和 区域扩张 (Region Expansion) 。

策略 1: 区域缩减

把这想象成雕刻。你从一块粘土 (整个空间) 开始，切掉 不属于 物体的部分。

  1. 初始化: 从物体深处的一点开始。
  2. 切片: 识别物体表面上空间“空” (SDF > 0) 的最近点。
  3. 超平面: 在该点创建一个切割平面 (超平面) 。
  4. 重复: 继续切片，直到得到一个由这些平面交集定义的紧密凸区域。

计算切割超平面法线的算法逻辑。

基于法线和点的超平面定义。

这种方法非常准确，因为它严格根据物体表面定义边界。

策略 2: 区域扩张

把这想象成在物体内部给气球充气。

  1. 初始化: 从物体内部的一个小球体开始。
  2. 采样: 查看当前边界附近的点。
  3. 扩张: 向外推动边界 (超平面) 。
  4. 优化: 调整平面的偏移量以覆盖尽可能多的体积，而不至于过多地越过物体边界。

扩张期间调整超平面偏移量的优化方程。

这种方法通常更有效率，产生的基元更少，尽管与缩减法相比可能会错过一些精细细节。

过程可视化

下图对于理解这种差异至关重要。

区域缩减 (b-c) 和区域扩张 (d-f) 的可视化。

  • 顶部 (b-c): 你可以看到线条穿过空间，缩小绿色形状。这是 缩减 。
  • 底部 (d-f): 你可以看到一个形状从中心向外生长，推动边界直到符合形态。这是 扩张 。

混合方法

为什么只选一个？作者将它们结合起来。他们使用区域缩减来捕捉形状中棘手的高细节部分，并使用区域扩张来快速填充体积更大、更简单的部分。

Armadillo 模型上的抽象方法比较。(a) 缩减法产生 49 个 DSF。(b) 扩张法产生 22 个。(c) 混合法产生 31 个。

上面的 Armadillo 模型展示了这种权衡。区域缩减 (a) 细节丰富但产生了很多碎片 (49 个 DSF) 。扩张 (b) 效率高 (22 个 DSF) 但错过了耳朵和手指。混合方法 (c) 取得了平衡 (31 个 DSF) ，在保持低数量的同时捕捉细节。

实验结果

也就是，MDSF 与其他最先进的方法相比如何？研究人员对比了 CvxNet (一种神经网络方法) 和 行进基元 (Marching Primitives, MP) (一种超二次曲面方法) 。

使用的指标包括:

  • IoU (交并比) : 越高越好 (重叠精度) 。
  • Chamfer-L1: 越低越好 (表面距离误差) 。
  • \(N_c\): 越低越好 (所需基元数量) 。

机器人连杆上的定性比较。从左到右: 输入、CvxNet、MP、CoDSF 和 MDSF。

从视觉上看，差异是明显的。CvxNet (第二列) 经常产生“团块状”的形状，无法捕捉锋利的机械边缘。提出的 MDSF (最右侧) 产生了清晰、干净的抽象，尊重了机器人连杆的几何形状。

表 1: 定量结果。在几乎所有类别中，MDSF 都以最少的基元数量 (\\(N_c\\)) 实现了最高的 IoU 和最低的 Chamfer 距离。

数据支持了这一点。在表 1 中，MDSF 始终实现最高的准确度 (IoU ~0.93 vs CvxNet 的 0.81) ，同时使用的组件显著更少 (13.8 vs CvxNet 的 50) 。这种“高精度、低复杂度”的组合是模拟的最佳选择。

研究人员还进行了消融研究以验证他们的混合方法。

表 2: 比较缩减、扩张和混合方法的消融研究。

混合方法 (“Hyb”) 有效地平衡了缩减法 (“Red”) 的高精度和扩张法 (“Exp”) 的效率。

为什么这很重要: 应用

MDSF 的真正力量在于代表 可微 (Differentiable) 的 “D”。由于定义这些形状的数学允许我们计算梯度，我们可以解决以前非常困难的反问题。

1. 形状编辑

想象一个机器人需要抓取工具，但工具手柄的形状稍微不对。利用 MDSF，我们可以定义一个“接触损失”，并自动变形物体的形状以最小化手和物体之间的间隙。

方程 16: 形状编辑的优化公式。

由于间隙相对于形状参数 \(\phi\) 是可微的，我们可以使用梯度下降来重塑物体。

形状编辑的视觉示例。红色网格显示了为适应夹具而变形的编辑后的 DSF。

2. 接触定位

机器人到底接触到了物体的哪里？通常，机器人不得不根据嘈杂的传感器进行猜测。通过数学建模接触力约束，MDSF 允许系统求解精确的接触点和力向量。

方程 17: 接触定位的优化。

该优化最小化了预期物理 (摩擦锥、扭矩) 与观测到的传感器数据之间的误差。

接触定位可视化。算法优化初始点以在 DSF 表面上找到真实的接触位置。

3. 可微模拟

最后，这实现了更好的规划。在可微模拟器中，机器人可以“想象”一条轨迹。如果它掉了一根香蕉，它可以计算运动 通过 与地板接触的梯度，从而在移动 之前 调整其抓握。

操作规划结果。系统使用抽象的 DSF 为苹果和香蕉规划轨迹。

在图 11 中，苹果和香蕉的复杂几何形状分别被抽象为仅 9 个和 5 个 DSF。这种轻量级的表示允许规划器高效地解决复杂的操作任务。

结论

论文《基于行进可微支撑函数的形状抽象》在表示 3D 世界方面迈出了重要一步。通过摆脱僵硬的方块和沉重的网格，并拥抱 可微支撑函数 , 作者提供了一种既几何精确又物理实用的工具。

可微参数化 和 基于行进的超平面 的结合解决了拟合复杂形状和保持表示轻量级这两个双重问题。对于机器人领域的学生和研究人员来说，这突显了一个重要趋势: 计算机视觉的未来不仅仅是识别物体；而是以一种允许机器与周围世界互动、模拟并改变周围世界的方式来表示它们。